Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 25 x - 56$

Passaggio 1

Imposta $x^{3} - 4 x^{2} - 25 x - 56$ uguale a $0$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 25 x - 56 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3} - 4 x^{2} - 25 x - 56$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $8$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $8$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $8$ nel polinomio.

$8^{3} - 4 \cdot 8^{2} - 25 \cdot 8 - 56$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$512 - 4 \cdot 8^{2} - 25 \cdot 8 - 56$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$512 - 4 \cdot 64 - 25 \cdot 8 - 56$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 4$ per $64$ .

$512 - 256 - 25 \cdot 8 - 56$

Passaggio 2.1.3.5

Sottrai $256$ da $512$ .

$256 - 25 \cdot 8 - 56$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $- 25$ per $8$ .

$256 - 200 - 56$

Passaggio 2.1.3.7

Sottrai $200$ da $256$ .

$56 - 56$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $56$ da $56$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $8$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 8$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 25 x - 56}{x - 8}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $x^{3} - 4 x^{2} - 25 x - 56$ per $x - 8$ .

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Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$25 x$

$56$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 8 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$32 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} - 32 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
							+	$7 x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
							+	$7 x$	-	$56$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$7$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
							+	$7 x$	-	$56$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$7$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
							+	$7 x$	-	$56$
							+	$7 x$	-	$56$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x - 56$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$7$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
							+	$7 x$	-	$56$
							-	$7 x$	+	$56$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$7$
$x$	-	$8$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$25 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$32 x$
							+	$7 x$	-	$56$
							-	$7 x$	+	$56$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 4 x + 7$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $x^{3} - 4 x^{2} - 25 x - 56$ come insieme di fattori.

$(x - 8) (x^{2} + 4 x + 7) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 4 x + 7 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} + 4 x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 7$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 7 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 7$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Sottrai $28$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + i \sqrt{3}, - 2 - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 8) (x^{2} + 4 x + 7) = 0$ vera.

$x = 8, - 2 + i \sqrt{3}, - 2 - i \sqrt{3}$

Passaggio 3